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Comment calculer le rapport de vitesse angulaire d'un arbre à cardan ?
Question
Récemment, cette question me tracasse, et même si cela peut sembler simple, je n'ai pas pu trouver de réponse satisfaisante.
Supposons que nous ayons un accouplement à cardan comme sur l'image suivante, où le et les arbres sortants sont tous deux pourvus d'une extrémité en forme de U. Les extrémités en forme de U pointent l'une vers l'autre, sont tournées d'un angle de 90 degrés l'une par rapport à l'autre et sont reliées à une paix intermédiaire cruciforme qui permet aux arbres de tourner autour de leur propre axe.
Dans l'image ci-dessous, le bleu entrant et les arbres sortants verts font un angle de 30 degrés dans le plan du papier (écran). La vitesse angulaire de l'arbre entrant est in et la vitesse angulaire de l'arbre sortant est uit. Voir l'image ci-dessous.
Comment calculer le rapport des vitesses angulaires ωuit / ωin étant donné que l'extrémité en U de l'arbre d'entrée se situe dans le plan de l'écran (à gauche), et perpendiculaire au plan de l'écran (à droite) ? Existe-t-il un moyen systématique de le faire ?
Les réponses correspondantes sont :
gauche : ωuit / ωin = 1/cos(30)
à droite : ωuit / ωin = cos(30)
Réponse populaire
Je ne suis pas convaincu que ce soit aussi simple que cette formule. Je pense que vous avez trois corps solides impliqués dans la conversation.
Si c'était moi, je concevrais le système dans SolidWorks, puis j'assemblerais les pièces avec les axes et les surfaces de contact en contact. Une partie du problème ici est le DI/OD et le jeu axial/pente. Ce n'est pas grand-chose dans la vraie vie, mais suffisant pour être un facteur dans la courbe d'entrée par rapport à la sortie, en particulier lorsque des charges de couple non nulles sont impliquées. Je ferais tourner l'arbre d'entrée de 2,5 degrés d'arc et mesurer la rotation de sortie. Ajoutez 2,5 degrés de torsion supplémentaires et mesurez à nouveau la sortie. Répétez l'opération pour obtenir une carte complète (je pense que 90 degrés d'arc au total devraient suffire...) Je doute que l'entrée à la sortie soit une relation linéaire pure. Ou vous pouvez le faire avec des relations angulaires 3D et une très bonne appréciation de la géométrie descriptive. Bien que deux des parties impliquées soient de la même conception, vous devez toujours gérer trois corps dans l'analyse.
Comment savez-vous calculer les stéradians ? Moi, pas tellement.
J'ai une bonne compréhension de la géométrie descriptive, mais je pense que c'est un problème difficile à résoudre dans le domaine purement théorique.
Une autre approche consiste à utiliser des calculs matriciels avec un opérateur de rotation 3D. Je pense que vous en trouverez plus sur les matrices de transformations dans le domaine de la conception de bras robotiques.
Modifier/mettre à jour : consultez cette référence. Il a un joli graphique de sortie montrant les variations de vitesse. Il montre des formules similaires aux vôtres mais encore une fois sans explication sur la façon dont ces formules ont été identifiées. Ce qui est assez bizarre, c'est que le pic hors norme ne se produit pas toujours à 45 degrés … il est décalé d'un degré ou plus, selon la distance à laquelle le joint en U est «courbé». Cela me fait soupçonner que ces données sont obtenues par expérimentation plutôt que par calcul, mais que sais-je ?
Mise à jour n° 2 : Voici un référence assez détaillée, de l'Université Dario Governatori de Rome Tor Vergata. Regardez la diapositive #13, Cinématique. L'auteur crée une relation pour chaque moitié de la croix en U, basée sur les angles d'entrée/sortie. Il prend le produit scalaire = 0 car ils sont perpendiculaires l'un à l'autre. Remplacez les entrées d'angle, puis différenciez la relation des angles d'entrée et de sortie par rapport au temps. Cela a du sens mais n'est certainement pas intuitif. Je pense que les illustrations de présentation ici sont excellentes.
Je dirai que j'ai trouvé l'"Equation of Motion" description dans wikipedia beaucoup plus complète et plus facile à comprendre (même si les illustrations du wiki sont un peu faibles.) Utiliser les deux les références ensemble rendent les choses beaucoup plus claires.
Alors, euh, ouais. Grattez les éléments SolidWorks de ma réponse. A quoi diable pensais-je ?